domingo. 21.04.2024
Georg Cantor
Georg Cantor

No es que sea yo un amante de la filosofía –y eso que filosofía significa amor a la sabiduría– pero creo que hace tiempo que el abandono en el mundo occidental y quizás en el planeta de los estudios de esta materia está haciendo mella en el campo del conocimiento y, en particular, en el campo de la ciencia y de las matemáticas. Al menos en el campo de sus explicaciones. Se dice desde la escuela de filosofía de Oviedo (Gustavo Bueno) que la filosofía es un saber de segundo grado, es decir, que es un saber supeditado fundamentalmente al campo del conocimiento que es la ciencia. Creo acertada esta precisión, pero sólo si se entiende filosofía como una reflexión crítica de las teorías (de las explicaciones). En el mundo Occidental no se estudia filosofía sino tan solo y en el mejor de los casos historia de la filosofía, que es muy distinto. 

Y es que, además, si la filosofía es un saber de segundo grado, la historia de la filosofía es una contradicción en sus términos porque tal historia no existe fuera de los conocimientos a los que se aplica. Pero dejando esto de la historia, al no disponer los científicos de herramientas críticas del propio conocimiento (crítica filosófica) es lo que ha permitido explicaciones absolutamente absurdas, peregrinas, como es que ante el desconcertante experimento de las dos rendijas (el experimento de Thomas Young) se haya explicado como que una partícula pasa por dos rendijas ¡a la vez! [1]; o, por ejemplo, que para explicar el mundo de lo más pequeño se diga que hay más de tres o cuatro dimensiones (concedemos el tiempo como una dimensión más, especial, pero una más) como ocurre con las teorías de las cuerdas (hay varias), hablando de diez o más dimensiones y que estas están ¿enrolladas? microscópicamente. 

Las dimensiones de un espacio no se enrollan porque aquella sirve para localizar algo en un espacio de forma inequívoca, y se le añade la coordenada temporal para permitir el movimiento. Lo del sobredimensionamiento es un abuso lingüístico de las matemáticas cuando a los espacios matemáticos se le añaden más coordenadas que las cartesianas. Se dice que ese sobredimensionamiento es necesario para evitar los infinitos, lo cual indica que esas teorías están mal planteadas si necesitan explicar llamar dimensiones al sobredimensionamiento de coordenadas, confundiendo esto con el espacio real. Si estos científicos que así explican las cosas tuvieran una formación filosófica –no de historia de la filosofía, aunque ésta no sobra– se habrían acostumbrado a ser críticos con estas peregrinas y ridículas explicaciones que causan sonrojo oírlas.

El abandono de la filosofía en el mundo occidental está haciendo mella en el campo del conocimiento y, en particular, en el campo de la ciencia y de las matemáticas

Pero aquí querría referirme a la demostración tan admitida de que el ruso de nacimiento Georg Cantor (1845-1918) demostró que el conjunto de los números irracionales no son enumerables, es decir, que no pueden ser puestos en correspondencia biunívoca o biyectiva con el conjunto de los números naturales. Este genial matemático –a pesar de que vamos a cuestionar su famosa demostración diagonal– cae bien porque tuvo un como enemigo acérrimo a otro matemático alemán que fue Kronecker, al igual que Don Quijote tuvo como enemigo a Sansón Carrasco, que a la postre fue el que le mandó de retorno a su pueblo tras vencerle en singular batalla caballeresca. Y nos cae bien porque el citado Kronecker (1823-1891) empleó malas artes para evitar que publicara Cantor parte de su obra. Leopoldo Kronecker, desde su puesto como profesor de la Universidad de Berlín, hizo todo lo que estuvo en su mano para impedir que Cantor publicara sus artículos sobre los conjuntos transfinitos en la revista Acta Mathematica sobre la que tenía influencia. Este y otros obstáculos con los que se enfrentó el bueno de Cantor agravaron probablemente su salud mental. Murió en una clínica psiquiátrica, aunque lo fue de un ataque al corazón. Hay que agradecer al profesor José Ferreirós que haya escrito un magnífico prólogo –además de la traducción y de selección de correspondencia– a la obra fundamental de Cantor que fue los Fundamentos para una teoría general de conjuntos (1883), así como gran parte de la correspondencia del autor con otros matemáticos de su tiempo y con los que tuvo amistad como fueron Dedekind, Hilbert y, en un primer momento, con el propio Kronecker, aunque luego ambos se distanciaran notablemente.

Y ahora pasemos a una vulgarización de la demostración de Cantor que se halla en la obra citada y también en la correspondencia, principalmente con Dedekind. Cantor provoca una ruptura con tradición desde Euclides [2] del infinito como infinito potencial para considerar que se puede concebir un conjunto infinito como dado, es el infinito actual, y que además se puede operar con él con las reglas de la aritmética ordinaria. La idea del infinito potencial la usó Euclides para sus demostraciones del valor del número pi y para el cálculo de superficies y volúmenes cuando al menos uno de sus lados –o todos– so curvos, es decir, no son líneas rectas. El infinito potencial es la base procedimental del cálculo infinitesimal, incluso cuando se hace uso de los deltas y épsilones. Antes se usó muy a pesar de la escuela pitagórica en la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, que da un número infinito de términos. Los números naturales son infinitos porque, dado un número natural cualquiera y genérico que llamaremos n, se puede obtener otro –más grande que el propio n y todos los anteriores, y además es también natural– que es n+1. Como se ve esto es matemática elemental, de secundaria. Ahora vamos con el procedimiento de la diagonal. Supongamos de forma análoga a lo que lo hace Cantor que hemos sido capaces de poner a todo el conjunto infinito de números irracionales en el sistema binario y que los hemos enumerado de la siguiente manera:

01 (17)

Es decir, hemos empleado al conjunto infinito de número naturales que está dado en la columna primera (n. naturales) para enumerar al conjunto también infinito de números irracionales (transformados en el sistema binario) que están en la segunda columna (números irracionales). Estos números son irracionales puesto que, en el sistema binario que están calculados, tienen cada uno de ellos un número infinito de dígitos, cosa que se ha expresado mediante los puntitos. Que sean irracionales viene dado porque no tienen un patrón que se repita a partir de un cierto dígito. Recordemos que números irracionales son aquellos que no pueden igualarse nunca al cociente de dos números naturales [3]. Es el caso de la raíz cuadrada de 2, del número pi o del número e, la base de los logaritmos neperianos o naturales. Y en efecto, en la ristra infinita de números irracionales de la segunda columna se supone que aparecerán alguna vez estos tres números. Advertir que estos números de la segunda columna no están ordenados, lo cual facilita la demostración de Cantor que viene ahora. Pues bien, el procedimiento de Cantor –que en los Fundamentos y en alguna de las cartas a Dedekind aparece más complicado– consiste ahora en calcular un número que no está en la segunda columna. Este número va a ser el siguiente: 

0,0010….

Este número se ha construido de la siguiente manera: a partir del cero antes de la coma lo que se ha hecho es tomar el primer número irracional (segunda columna) que es el 0,11001010010…, y se ha cambiado el primer dígito –el 0– por el 1; se ha tomado el segundo número irracional que es el 0,01000111101…, y se ha cambiado el segundo dígito –que es el 1– por el 0; se ha tomado el tercer número irracional que es el 0,00011110100…, y se ha cambiado el tercer dígito que es el 0 por el 1, y así se ha obrado con el conjunto de todos los números irracionales (segunda columna). Y el problema, según esta versión de la demostración de Cantor, viene ahora porque resulta ¡que hemos empleado todos los números naturales para contar todos los irracionales y ahora ya no tenemos ninguno más! Con ello parece demostrarse que el conjunto de los irracionales es mayor (potencia o cardinalidad de un conjunto) que el de los naturales.

Y ahora vamos con la crítica. La primera debiera ser evidente cuando hemos hablado de infinito potencial y de infinito actual, es decir, de dos concepciones distintas del infinito. Suponiendo que que admitamos que es posible concebir el infinito actual –y ello es mucho suponer– la cuestión es si es admisible que ¡en el curso de una demostración pueda admitirse dos concepciones simultáneas del infinito! En mi opinión es inaceptable. Piénsese que esta demostración es por reducción al absurdo, es decir, hemos partido de que se ha sido capaz de poner en una columna el conjunto de los números irracionales y en correspondencia biunívoca con otra en la que están los naturales y se ha llegado a una contradicción. Entonces, ¿no será que la contradicción está en la hipótesis del procedimiento –y no en el recuento– al considerar que es posible utilizar simultáneamente dos concepciones distintas del infinito? Dicho de otra forma, la contradicción está en los fundamentos de la demostración y no en la hipótesis de la posible correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos. 

La segunda objeción es ya de partida al suponer que tenemos en la mano –como aquel que dice- el infinito de los números irracionales –a todos por hipótesis– y resulta que nos sale uno más: entonces no teníamos todos. 

La tercera es más complicada de explicar, pero lo intentaré. Obsérvese que, con el procedimiento anterior, si se admite la validez de la demostración cantoriana, sólo se ha sido capaz de construir un número irracional de los que había, solo uno más. Es verdad que existen otras demostraciones más completas que dan una infinidad de números y la que hemos empleado es sólo la forma más simple. Por ejemplo, supongamos que en lugar de partir de un sistema de numeración de base 2 partiéramos de un sistema de base 3, con lo cual se podría jugar con los números 01 y 2, porque un sistema de base 3 tiene estos dígitos. Entonces tendríamos más opciones al construir números irracionales adicionales, porque tendríamos dos dígitos como opciones para cambiar el original. De hecho, tendríamos dos alternativas para el primer dígito del primer número irracional dado, otras dos para el segundo, y así sucesivamente. Con lo cual al final tendríamos variaciones con repetición de 2 números (dígitos alternativos) tomados de n en n (al final del recuento), es decir, tendríamos elevado a n, es decir, 2n. Obsérvese que con el sistema de base 2 tenemos 1n (que vale 1), con un sistema de base 3 tenemos 2n posibles alternativas. En general, con un sistema de base m tendríamos (m-1)n alternativas, lo cual supondría que habríamos podido calcular a su vez este número de irracionales. Y aquí surge una contradicción porque un número en una base de numeración puede transformarse en otra expresión aritmética en otra base de numeración, pero ¡sin dejar de ser el mismo número! Con ello hemos caído en una contradicción [4]. No puede ocurrir que haya más números en un sistema de numeración que en otro puesto que la transformación de un número de una base en otro de otra base –que sigue expresando el mismo número, pero en base diferente– es un procedimiento algorítmico, con lo cual la correspondencia de un número expresado en bases diferentes es biunívoca, es contable con los números naturales. Pues bien, si admitimos la demostración de Cantor no es posible lo anterior salvo la construcción de un número más que ocurre si se han puesto los irracionales en base 2 de salida.

La cuarta objeción es que la demostración de Cantor –sea cual sea la versión– es sólo una aparente demostración por reducción al absurdo. Sí lo es, por ejemplo, la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 porque se parte de suponer que existen dos números enteros ya reducidos (divididos ambos números entre sus elementos comunes) cuyo cociente es igual a la raíz de 2 y se llega a la conclusión (empleando la propiedad de la paridad o no de los números naturales) de que no existen tales dos números. Aquí se parte de una contradicción directa en el supuesto y es el de suponer que tenemos en una mano todos los números irracionales y luego no es verdad. En la demostración de la irracionalidad del número raíz de 2 se parte de la contradicción entre un procedimiento (la extracción de raíces) y de si es suficiente un conjunto (el conjunto de los naturales) para encontrar la igualdad buscada; en la de Cantor se parte directamente del ser no o ser hamletiano: se tiene el conjunto de los irracionales y al mismo tiempo no se tiene porque no se emplea ningún procedimiento constructivo de números irracionales. Y no se puede emplear porque para cualquier procedimiento constructivo solo es necesario hipostasiar el infinito potencial y nos sobra el actual.

Los que quieran considerar que la demostración de Cantor es inapelable tendrán que admitir que a partir de Cantor se abre dos tipos de matemáticas: aquellas que trabajan con el infinito potencial y aquellas que trabajan admitiendo simultáneamente el infinito potencial y el infinito actual.

Es verdad que de no admitirse la veracidad o admisibilidad de la demostración de la diagonal de Cantor se abre un nuevo frente y es el de los teoremas de incompletitud de Gödel, porque en la demostración de estos se utiliza de una u otra manera al menos el procedimiento de diagonalización. En todo caso hay que advertir que, aún dando por buena la demostración cantoriana, esta solo es posible en el infinito. Más aún, un tema conexo con esto es el siguiente: como dado un número natural tan grande como se quiera –por ejemplo, n– se puede construir otro número natural también n+1, la pregunta es: ¿con este procedimiento arribamos al infinito actual o, en el mejor de los casos, al infinito potencial? Ahí queda eso. 


[1] Recurriendo sin querer a la fenomenología se ha explicado modernamente que la proyección de la partícula –cuando se lanza de una en una– es cómo si hubiera pasado simultáneamente por las dos aunque ello no haya ocurrido. Con ello el asunto está arreglado.
[2] Arquímedes, el gran contador de números, nunca llegó a considerar el infinito; para Aristóteles pensar en el infinito era una contradicción, y para Bertrand Russell los irracionales no existían como números aunque sí como límites de racionales.
[3] A veces se habla de enteros para posibilitar de que se pueda partir de números irracionales negativos.
[4] Si el lector no cae en la contradicción debe volver a leer este último epígrafe.

Una discutible demostración