14 de noviembre de 2010, 14:20
NUEVATRIBUNA.ES - 14.11.2010
Me ha llamado la atención el artículo de José María Sánchez Ron en el diario EL PAÍS titulado “El valor del fracaso digno” (1). El autor es uno de los más conocidos historiadores y divulgadores de la ciencia en España y le he leído siempre con fruición todo lo que ha publicado y que yo me haya enterado. Sin embargo, esta vez me ha decepcionado en su artículo. No haré un resumen del mismo porque es del día 11 y puede ser leído en Internet. En la primera parte habla de la incoherencia de los políticos cuando se les pregunta una cosa y contestan a una supuesta pregunta que no ha sido formulada. Pone Sánchez Ron el ejemplo de la presidenta de la Comunidad de Madrid con las últimas declaraciones a micrófono abierto, pero que élla creía cerrado. Podía haber puesto con más razón las declaraciones de la secretaria general del propio P. P., la Sra. de Cospedal, sacando la conclusión de que el expresidente Sr. González era la X de los GAL -cosa que se inventó el incalificable director de EL MUNDO y de cuyo nombre no quiero acordarme- cuando de la lectura de las declaraciones no se obtiene nada referido a ese tema y menos en esa dirección. La esperanza de esta señora y la del P. P. es la de que sus posibles votantes no hayan leído esas declaraciones puesto que aparecen en un periódico supuestamente enemigo del partido, y ello les lleve a estos lectores a creer -en lugar de informarse y pensar- a que la Sra. de Cospedal no les miente sobre esas declaraciones. Siento y me repugna mezclar y mezclarme al profesor Sánchez Ron con la Sra. de Cospedal. El Sr. Sánchez Ron equipara la catadura moral que denota la presidenta de la Comunidad de Madrid con el error de los pronósticos o las exageraciones de Leire Pajín, la actual ministra de Sanidad, por lo del acontecimiento planetario. Ambas cosas no están en el mismo plano de la ética, incluso aun cuando los pronósticos se hagan a sabiendas que van a ser difíciles de que se cumplan. Otra cosa -por ejemplo- son los pronósticos de las agencias de calificación o la de los representantes de los fondos especulativos que se han venido haciendo en este año, porque estos son sólo pronósticos en la apariencia; son en realidad métodos de abaratar la futura deuda pública con el fin de que sus operaciones bajistas previas a plazo -vendiendo lo que no se tiene- sirvan para comprar más tarde la emisión de títulos ya devaluados y ganar con ello pingües beneficios. Me salto de momento la mención de Sánchez Ron sobre los Principia de B. Russell para ir a este tema al final. Dice el articulista que “la modernidad de los ilustrados del siglo XVII rechazaban que los medios justifican los fines, manteniendo firmemente que los medios tienen primacía sobre los fines”. Lo del siglo XVII quizá sea un error y se refiera al siglo siguiente. En cualquier caso, la perplejidad del articulista no debiera ser tal porque, al menos desde Maquiavelo, el italiano que teoriza y convierta la política en ciencia, no queda claro que el balance de los fines sobre los medios haya ganado históricamente al de los medios sobre los fines. Dicho de otra forma: la razón de la fuerza ha ganado casi siempre la batalla a la fuerza de la razón, aunque a la larga, la guerra, a veces, la haya perdido. Ejemplo de ello fueron la II Guerra Mundial con las anexiones conquistas y de Hitler y su ascenso golpista desde la cancillería a la presidencia de la República de Weimar; también el golpe de estado de Franco, sus secuaces y sus huestes, para acabar con nuestra II República. La razón la puso el presidente de la República y su gobierno en su último mandato de ésta; la fuerza, es decir, las pistolas, los fusiles y las bombas, la pusieron los generales Sanjurjo en 1933 y Franco, Mola, Queipo de Llano, Kindelán, etc., en el 36, junto con la ignorancia y el egoísmo de una parte de la sociedad, tanto de los ricos como de los pobres ¿Pero todo eso qué tiene que ver con la ciencia y sus métodos? La generalización de Sánchez Ron a toda la política y a todos los políticos es injusta. Sin ir más lejos, el error del pronóstico de Leire Pajín no puede compararse en el plano meramente ético -no político- con las declaraciones de la Sra. de Cospedal que he mencionado -y que Sánchez Ron no menciona quizá porque el artículo hubiera sido escrito con antelación-, donde se juntan la mentira y la infamia a partes iguales, con la esperanza de la ignorancia de sus posibles votantes. Esto pasa por mezclar cosas tan distintas como ciencia y política, método y creencia, la lógica de la investigación y la sociología. O al menos querer equiparar ambas en un mismo plano. Puede estar tranquilo el Sr. Sánchez Ron que no está equivocado y deber seguir enseñando a sus alumnos en la lógica de la investigación científica, enseñando a Khun, a Popper, a Lakatos, etc., que sus alumnos sabrán distinguir tarde o temprano las churras de las merinas, la carrera del tocino, el culo de las témporas. Y enseñando ciencia a sabiendas que ésta no admite la creencia, sólo la contrastación empírica de las hipótesis y las conclusiones. Y si esa separación entre política y ciencia es pertinente, lo es mucho más entre esta última y la religión. Ahí cualquier conexión en cualquier plano lleva a la liquidación de la ciencia, de sus métodos y de sus fines. Estos sólo pueden -en mi opinión- interrelacionar con la historia de la ética bajo la perspectiva de la moral kantiana: obra de tal manera que tu comportamiento sea ejemplo o guía de una ética universal.
Voy ahora a Bertrand Russell (1872-1970), porque en realidad el profesor Sánchez Ron apenas desarrolla el tema de los Principia, aunque lo hace de forma acertada, señalando el intento -que luego el teorema de Godel demostró baldío- de rehacer toda la Matemática bajo los principios de la lógica. Invito a Sánchez Ron a que desarrolle el tema en el medio publicado o en este más modesto de Nueva Tribuna. Sé que lo ha hecho de forma brillante en sus libros y a lo largo de su carrera. En España y en castellano aparecieron “Los principios de la matemática” (2) en 1967 en la editorial Espasa-Calpe, aunque los derechos los tenía desde 1948, pero no sé de que nunca aparecieran traducidos sus tres tomos de “Principia Mathematica”. No sé tampoco si puede achacar a la censura franquista este largo período desde la propiedad de los derechos hasta su publicación o son otras las causas. Es claro que la figura de Bertrand Russell no era precisamente querida por los censores, pero no por su obra científica, lógica y matemática, que apuesto las dos piernas y un brazo que aquellos no tenían ni la más remota idea de ella, sino porque ese inglés de impronta volteriana era una figura mundialmente conocida por su pacifismo y su lucha contra toda forma de dictadura y de opresión. En un libro (3) cita Jesús Mosterín unas palabras del filósofo inglés: “tres pasiones simples, pero abrumadoramente fuertes, han gobernado mi vida: el anhelo de amor, la búsqueda del conocimiento y la insoportable piedad por los sufrimientos de la humanidad”. Y merece la pena seguir con sus palabras, tanto por su hondura como por la belleza con que están expuestas: “Estas pasiones, como grandes vientos, me han llevado caprichosamente de acá para allá sobre un océano de angustia, llegando al límite de la desesperación”. La pasión por las matemáticas de B. Russell arranca -según propia confesión- a la temprana edad de los once años, pero también de la decepción que le supuso saber que Euclides “partía de axiomas”. Fue su hermano el que le convenció de que “si no los aceptaba no podríamos seguir adelante”. Los aceptó, pero a regañadientes, porque a cambio sus próximos veinte años fueron una carrera con un fin: demostrar que esos axiomas podían ser sustentados, cobijados, reducidos a principios lógicos. Eso es lo que se ha dado en llamar logicismo, y es una de las tres escuelas o tendencias de las matemáticas que aún perviven. Las otras dos son el intuicionismo (Brouwer) y el formalismo (Hilbert) (4).
Tengo en mis manos “Los principios…”. Los leí por primera vez en la adolescencia y desde entonces les echo un ojo cada cierto tiempo, sin saber si me gusta más el rigor de sus razonamientos, su atrevimiento en discutir verdades admitidas o esa impronta con que están escritos. Su atrevimiento es proverbial. Para cuando escribe B. Russell ya se ha producido uno de las mayores revoluciones en el campo de las matemáticas. Esa revolución lleva un nombre: Georg Cantor (1845-1918). Este ruso nacido en San Petersburgo ha creado toda una matemática a partir de una concepción del infinito alternativo al de origen aristotélico. Hasta entonces -incluso para Gauss- el infinito es potencial, es decir, un conjunto es infinito -diríamos hoy- si dado un elemento cualquiera de un conjunto ordenado podemos encontrar o calcular el elemento siguiente. Nadie puso este criterio en duda hasta Cantor, aunque ya Galileo (1564-1642) advirtió una contradicción en el conjunto de los números naturales. Vio el de Pisa que podía hacerse corresponder uno a uno el conjunto de los números naturales con el conjunto de los pares, haciendo que 1 se aplicara a 2, 2 a 4, 3 a 6, y en general -y esto es lo decisivo-, n a 2n. Y sin embargo un conjunto (el de los impares) es un subconjunto, un trozo de el de los naturales. Pero la cosa se quedó ahí hasta Bolzano (1781-1848). Cantor admitió que otro criterio de infinito sería el del infinito actual (5), es decir, que podía operarse con reglas del análisis -aunque propias- con un conjunto infinito en el que tuviéramos todos sus elementos a la vez, en la mano. La paradoja de Galileo la resolvió otro matemático -Dedekind (1831-1916)- convirtiendo la paradoja en el criterio básico de una nueva matemática y que Cantor hace suyo: un conjunto es infinito si se puede establecer una correspondencia del conjunto con una parte del mismo. Eso no puede ocurrir con uno finito. A partir de esa definición Cantor transforma las matemáticas. Una de las propiedades de los conjuntos infinitos es la de que unos son más infinitos que otros. El petersburgués demostró que el conjunto de los números irracionales es de un grado de infinitud mayor que el de los números racionales, que son los que pueden se puestos como cociente de dos números enteros. Una locura inesperada, pero inapelable si aceptamos algunas premisas previas. A partir de ahí hay una jerarquía de conjuntos infinitos que se pueden obtener sin que se puedan poner en correspondencia unos con otros: son los conjuntos transfinitos. Los últimos años de la vida de Cantor fue, como dice Jesús Mosterín en el libro mencionado, “un continuo entrar y salir de la clínica siquiátrica”. Pues bien, B. Russell, poniéndose la matemática por montera, niega la realidad de los números irracionales (6). Estos números, esta fundamentación de la aritmética, nunca se explica convenientemente en las facultades salvo, supongo, en las de matemáticas. En realidad no se estudian los fundamentos de las matemáticas, sino que en seguida nos ponemos a derivar, integrar, calcular ecuaciones, ecuaciones diferenciales, a trabajar con el álgebra matricial, con las probabilidades, etc. Es una de las reformas que ha de hacerse en los estudios donde se aplican las matemáticas, que son casi todos, hasta los de psicología y biología. Sólo los filólogos se quedan a salvo, porque los de Derecho las necesitan aunque ellos no lo sepan al principio o no se lo crean. Los número reales son la suma de los racionales y los irracionales. Los racionales son o pueden ser siempre resultado del cociente de dos números enteros. Por ejemplo, el número 3/7. Estos números se caracterizan porque si hallamos ese cociente indicado, constan o pueden constar de una parte entera y un número infinito de decimales a partir de la coma, pero con la particularidad de que a partir de un cierto número - a lo más 10- se repiten. Por ejemplo, el número racional anterior 3/7 es igual a 0,42857142857……, que se repite su secuencia a partir del quinto decimal. En cambio el número siguiente que vamos a llamar “pepe”:
pepe = 0,101001000100001…..
no se repite nunca porque se ha construido aumentando sucesivamente el número de ceros cada dos unos; es infinito su número de dígitos y no puede ponerse como cociente (razón) de dos números enteros. Es un ejemplo de número irracional. Pues bien, Bertrand Russell niega la existencia de estos números (7). Intentaré explicarlo en lugar de dar alguna cita. La clave del lógico inglés al negar la existencia del número irracional (de los irracionales) está en los puntos suspensivos del ejemplo. Bajo algún criterio (el del infinito potencial) es verdad que el número queda perfectamente definido, porque sabemos como aumentar el número de dígitos. Es un número construible; pero desde otro punto de vista, este número es inoperante si no fijamos en el número de dígitos, que es infinito. No podríamos, por ejemplo, operar con él en un ordenador porque no puede convertirse en una ristra de unos y ceros finita. Tampoco podemos multiplicarlo por otro número y calcular realmente su valor porque no tenemos una última cifra decimal. Además -y este es el principal argumento de B. Russell- podemos aproximarlo por dos números racionales tanto como queramos. Por ejemplo, el número irracional del ejemplo está comprendido entre estos dos números:
0,101001000100001 < pepe < 0,101001000100002
Y si lo queremos aproximar más, podemos hacerlo con estos dos:
0,101001000100001000001 < pepe < 0,101001000100001000002
Y así indefinidamente. Pero los números a derecha e izquierda de “pepe” son racionales porque son finitos. Niega B. Russell también -si no me equivoco en la interpretación- la necesidad de los irracionales para establecer la continuidad de las funciones en el cálculo infinitesimal: con los racionales basta y sobra. La razón es la de que entre dos racionales siempre se puede construir otro racional: por ejemplo, su media aritmética, aunque no es la única forma de intercalación. Es verdad que entonces -aparentemente- no puede ponerse en correspondencia los números con las distancias, la aritmética con la geometría. Por ejemplo, la raíz de 2 es un número irracional porque se puede demostrar -y es una demostración simple, pero trascendente- de que no puede ponerse como cociente de dos enteros; pero raíz de 2 es también la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos iguales y de valor 1 cada uno de ellos, por lo que la proyección de esta distancia (raíz de 2) en una recta (recta real) da una distancia que no coincide exactamente con ningún número racional. Parecería que B. Russell ha sido refutado, pero no es tan fácil, porque esa proyección es meramente geométrica (con un compás) y eso no indica que exista una distancia real (geometría) coincidente con el valor aritmético de raíz de 2. Y si lo es, lo es por hipótesis y no por conclusión a partir de alguna hipótesis. Russell aceptaría esta argumentación, aunque añadiría que esa distancia en cambio puede ser aproximada por dos números racionales -como en el ejemplo del número “pepe”- tanto como se quiera. Todo esto lleva a la hipótesis del continuo, problema expuesto por Hilbert (1862-1943) en 1900, en la famosa ristra de 23 problemas irresueltos en su momento.
A partir del capítulo 29 de los Principia, todo se hace más inteligible para el no especialista, porque nos habla de cosas más habituales para los que utilizan -utilizamos- las matemáticas sin necesidad operativa de entrar en los intentos de su fundamentación lógica. Quizá por ello nos atrae B. Russell en su intento de fundamentación de las matemáticas en este punto, porque le vemos más asequible, más de sentido común; en cambio nos es más difícil aceptar la existencia del infinito actual cantoriano en lugar del infinito potencial. Es una resistencia lógica o pedagógica, pero existe. Esa es una de las razones -además de la ignorancia de los profesores sobre los fundamentos- por la que no se explican en las facultades los fundamentos de las matemáticas o se explican deprisa y corriendo y mal. Todo lo que he aprendido sobre esta materia (los fundamentos) ha sido por obra de un esfuerzo personal y llevado por una curiosidad irrefrenable. A la larga este déficit en la enseñanza universitaria se paga. Hoy las matemáticas son materia de especialistas y una de las razones del atraso de la formación pos-universitaria es la deficiente formación en esta materia -y consecuentemente en materia tecnológica y científica- de los gestores, empresarios y contratadores de muchas empresas, que no les permiten tomar decisiones en estos campos con conocimiento de causa porque están incapacitados en la lectura de textos, informes, etc., cuando estos han de expresarse ineludiblemente en lenguaje matemático. Es un cuello de botella que no ha sido detectado por ningún estudio, por lo que ha de tomarse como una hipótesis en principio.
Volviendo a los Principia, al final B. Russell resultó derrotado de su intento de construir una matemática sustentada en la Lógica. Como señala el profesor Sánchez Ron, en 1933 apareció una sorprendente y genial demostración de Kurt Godel (8) (1906-1978), matemático y lógico nacido en territorio de la actual Chequia, que hizo estéril e incoherente el intento de B. Russell: no hay forma de establecer una matemática -una aritmética en particular- basada en un conjunto de axiomas o postulados que lleve a dar con todos los teoremas habidos y por haber, porque pasará una de estas dos cosas: o algún teorema se escapa del intento y queda indemostrado a pesar de su validez, o al menos hay uno que es contradictorio con los demás, es decir, que se llega a una conclusión y a su contraria sin error en el razonamiento. Las matemáticas con las que construyen los puentes los ingenieros y los rascacielos los arquitectos no es que sean falsas o erróneas, no hay que asustarse. Los dos teoremas de Godel (9) sólo son una dosis de modestia ante los intentos del todo matemático o lógico. Se pueden construir todo tipo de edificios matemáticos coherentes (no contradictorios) a partir de hipótesis y postulados y con conclusiones y teoremas ciertos y útiles, pero siempre serán sistemas limitados, nunca omnicomprensivos, que servirán para resolver unos problemas y no otros. Por ejemplo, la matemática euclidiana sirve para solucionar problemas geométricos definidos en espacios de 3 dimensiones basados en rectas y curvas, con un tipo específico de definición de distancia, pero no sirven, por ejemplo, para aplicarlo a la teoría de la relatividad; el álgebra que hemos estudiado en el bachillerato sirve -entre otras cosas- para resolver ecuaciones de hasta cuarto grado, pero no para las de quinto o más (en términos generales); los números reales por sí solos no resuelven todas las ecuaciones y muchas veces hay que pasar por las horcas caudinas de los imaginarios (en los que aparece la raíz cuadrada de -1) para obtener soluciones reales. El hallazgo de Godel, su performance, es una de las conquistas intelectuales más altas de la humanidad; quizá sólo le es comparable la demostración del teorema fundamental del álgebra (10) por Gauss (1777-1855). También marca los límites del intelecto.
Bertrand Russell fue al final derrotado en términos estrictamente lógicos ante su intento de cimentar la matemática en la lógica, pero su esfuerzo no ha sido baldío. Muchos avances en las matemáticas, empezando por el comentado del teorema de Godel, han surgido ante el esfuerzo de refutar a los Principia, lo mismo que refutó él la lógica de Frege (1848-1925) con una simple paradoja; sin Cantor no existirían, por ejemplo, Von Neumann y Alain Turing y su maquina universal, base de la lógica de los ordenadores. Todo esto demuestra además la importancia de estudiar y de implementar en los planes de estudio universitario de economía, ingeniería, finanzas, biología, etc., la historia de las matemáticas. La derrota del inglés recuerda la interpretación de Ortega de El Quijote como la exaltación del fracaso a pesar del esfuerzo; y sin embargo, no se entendería, a cambio, la literatura española y parte de la europea posterior a Cervantes sin la historia inventada de la eterna pareja. La historia está llena de derrotas antes de llegar a la victoria: ejemplos de ello son las teorías físicas y/o químicas basadas en el calórico, en el flogisto o en el éter. La ideología del que queda segundo es un derrotado y que “sólo el ganador es valorado y recordado”, que denuncia Sánchez Ron, no tiene validez universal, es la ideología de la competitividad -que no de la competencia- como bien supremo, la del éxito en los negocios como valor ético; es una ideología reaccionaria, de origen weberiana en su teorización y justificación, propia de los países anglosajones, sustentada en el paradigma smithiano de que buscando el interés particular se consigue el general. No es la ideología de los derechos humanos, del humanismo, del erasmismo (11) europeo. Incluso Schumpeter padece de esta ideología con su teoría de los ciclos basados en la destrucción creativa, pero al menos esta teoría puede ser contrastada históricamente. Sánchez Ron extiende para todos los políticos españoles el catecismo del P. P. basado en la ocultación, la mentira, la difamación, el cinismo; la ideología y/o catecismo de los chicos y chicas que salen de la escuelas de negocios y universidades privadas -que es una contradicción en los términos- dispuestos a combatir al enemigo por cualquier medio, siendo el enemigo cualquiera que les puede apartar del éxito en la vida, en el trabajo y en los negocios. Es verdad que parte de la izquierda -más la gobernante que la opositora- está impregnada de estos vicios. Recuerdo una discusión de Álvarez Cascos, entonces secretario general del P. P., con Josep Borrell, aspirante a la Moncloa, en la que éste le recriminaba al pepero de Asturias su ignorancia por no distinguir entre déficit público y deuda pública. La respuesta de Álvarez Cascos fue más o menos en estos términos: las urnas nos dirán quien tiene razón. Made in P. P. Esta es la ciencia del P. P.
Es improbable que estas páginas las lea el profesor José Manuel Sánchez Ron, pero si por un milagro lo hiciera le diría: ánimo, no se desanime, siga explicando la ciencia bajo criterios o principios de verdad, veracidad, quizá de falsibilidad popperiana y contrastación de hipótesis, y véngase a nuestro lado, al lado de la izquierda, a la de los principios de justicia, de solidaridad, de igualdad no igualitarista, de internacionalismo, de mestizaje, porque se está más a gusto y en los que se siente uno más joven.
Antonio Mora Plaza
(1) http://www.elpais.com/articulo/opinion/valor/fracaso/digno/elpepiopi/20101111elpepiopi_11/Tes
(2) En español “Los principios de la Matemática”, Espasa-Calpe, 1967.
(3) “Los lógicos”, Espasa-Calpe, colección Austral, 2007, pág. 218.
(4) Un libro estupendo y muy asequible para espíritus curiosos es la conocida “Historia de la matemática”, de Carl B. Boyer, Alianza Universidad Textos, 1986.
(5) “Fundamentos para una teoría general de conjuntos”, Georg Cantor, Editorial Crítica, S, L., 2005, pág. 103. También “Grandes matemáticos”, en Investigación y Ciencia, temas 1, 1995.
(6) En realidad se habla siempre de reales porque estos son la suma de los racionales y de los irracionales, pero lo que marca la pauta del distinto grado de infinitud no es el hecho de que un conjunto (los racionales) sea menor que la suma de los racionales e irracionales (los reales), sino por el hecho de que por sí solos -sin añadir los racionales-, los irracionales tienen un grado de infinitud mayor que los racionales.
(7) “Los principios de la Matemática”, pág. 313.
(8) Es con diéresis en la o, pero en mi teclado no funciona este acento.
(9) Hay muchos libros en castellano con el teorema. A mí el que más me gusta es el de nuestro gran Manuel Sacristán “Introducción al análisis y a la lógica formal”, Círculo de Lectores, 1990, páginas 247 y siguientes. Más actual es el de “Godel para todos”, de G. Martínez y G. Piñeiro, Ediciones Destino, 2010.
(10) “La matemática: su contenido, métodos y signifcado”, Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev, etc., Alianza Universidad, 1973, páginas 338 y siguientes.
(11) Véase las partes más europeas del libro de José Luis Abellán “El erasmismo español”, Espasa-Calpe, 2005.
Me ha llamado la atención el artículo de José María Sánchez Ron en el diario EL PAÍS titulado “El valor del fracaso digno” (1). El autor es uno de los más conocidos historiadores y divulgadores de la ciencia en España y le he leído siempre con fruición todo lo que ha publicado y que yo me haya enterado. Sin embargo, esta vez me ha decepcionado en su artículo. No haré un resumen del mismo porque es del día 11 y puede ser leído en Internet. En la primera parte habla de la incoherencia de los políticos cuando se les pregunta una cosa y contestan a una supuesta pregunta que no ha sido formulada. Pone Sánchez Ron el ejemplo de la presidenta de la Comunidad de Madrid con las últimas declaraciones a micrófono abierto, pero que élla creía cerrado. Podía haber puesto con más razón las declaraciones de la secretaria general del propio P. P., la Sra. de Cospedal, sacando la conclusión de que el expresidente Sr. González era la X de los GAL -cosa que se inventó el incalificable director de EL MUNDO y de cuyo nombre no quiero acordarme- cuando de la lectura de las declaraciones no se obtiene nada referido a ese tema y menos en esa dirección. La esperanza de esta señora y la del P. P. es la de que sus posibles votantes no hayan leído esas declaraciones puesto que aparecen en un periódico supuestamente enemigo del partido, y ello les lleve a estos lectores a creer -en lugar de informarse y pensar- a que la Sra. de Cospedal no les miente sobre esas declaraciones. Siento y me repugna mezclar y mezclarme al profesor Sánchez Ron con la Sra. de Cospedal. El Sr. Sánchez Ron equipara la catadura moral que denota la presidenta de la Comunidad de Madrid con el error de los pronósticos o las exageraciones de Leire Pajín, la actual ministra de Sanidad, por lo del acontecimiento planetario. Ambas cosas no están en el mismo plano de la ética, incluso aun cuando los pronósticos se hagan a sabiendas que van a ser difíciles de que se cumplan. Otra cosa -por ejemplo- son los pronósticos de las agencias de calificación o la de los representantes de los fondos especulativos que se han venido haciendo en este año, porque estos son sólo pronósticos en la apariencia; son en realidad métodos de abaratar la futura deuda pública con el fin de que sus operaciones bajistas previas a plazo -vendiendo lo que no se tiene- sirvan para comprar más tarde la emisión de títulos ya devaluados y ganar con ello pingües beneficios. Me salto de momento la mención de Sánchez Ron sobre los Principia de B. Russell para ir a este tema al final. Dice el articulista que “la modernidad de los ilustrados del siglo XVII rechazaban que los medios justifican los fines, manteniendo firmemente que los medios tienen primacía sobre los fines”. Lo del siglo XVII quizá sea un error y se refiera al siglo siguiente. En cualquier caso, la perplejidad del articulista no debiera ser tal porque, al menos desde Maquiavelo, el italiano que teoriza y convierta la política en ciencia, no queda claro que el balance de los fines sobre los medios haya ganado históricamente al de los medios sobre los fines. Dicho de otra forma: la razón de la fuerza ha ganado casi siempre la batalla a la fuerza de la razón, aunque a la larga, la guerra, a veces, la haya perdido. Ejemplo de ello fueron la II Guerra Mundial con las anexiones conquistas y de Hitler y su ascenso golpista desde la cancillería a la presidencia de la República de Weimar; también el golpe de estado de Franco, sus secuaces y sus huestes, para acabar con nuestra II República. La razón la puso el presidente de la República y su gobierno en su último mandato de ésta; la fuerza, es decir, las pistolas, los fusiles y las bombas, la pusieron los generales Sanjurjo en 1933 y Franco, Mola, Queipo de Llano, Kindelán, etc., en el 36, junto con la ignorancia y el egoísmo de una parte de la sociedad, tanto de los ricos como de los pobres ¿Pero todo eso qué tiene que ver con la ciencia y sus métodos? La generalización de Sánchez Ron a toda la política y a todos los políticos es injusta. Sin ir más lejos, el error del pronóstico de Leire Pajín no puede compararse en el plano meramente ético -no político- con las declaraciones de la Sra. de Cospedal que he mencionado -y que Sánchez Ron no menciona quizá porque el artículo hubiera sido escrito con antelación-, donde se juntan la mentira y la infamia a partes iguales, con la esperanza de la ignorancia de sus posibles votantes. Esto pasa por mezclar cosas tan distintas como ciencia y política, método y creencia, la lógica de la investigación y la sociología. O al menos querer equiparar ambas en un mismo plano. Puede estar tranquilo el Sr. Sánchez Ron que no está equivocado y deber seguir enseñando a sus alumnos en la lógica de la investigación científica, enseñando a Khun, a Popper, a Lakatos, etc., que sus alumnos sabrán distinguir tarde o temprano las churras de las merinas, la carrera del tocino, el culo de las témporas. Y enseñando ciencia a sabiendas que ésta no admite la creencia, sólo la contrastación empírica de las hipótesis y las conclusiones. Y si esa separación entre política y ciencia es pertinente, lo es mucho más entre esta última y la religión. Ahí cualquier conexión en cualquier plano lleva a la liquidación de la ciencia, de sus métodos y de sus fines. Estos sólo pueden -en mi opinión- interrelacionar con la historia de la ética bajo la perspectiva de la moral kantiana: obra de tal manera que tu comportamiento sea ejemplo o guía de una ética universal.
Voy ahora a Bertrand Russell (1872-1970), porque en realidad el profesor Sánchez Ron apenas desarrolla el tema de los Principia, aunque lo hace de forma acertada, señalando el intento -que luego el teorema de Godel demostró baldío- de rehacer toda la Matemática bajo los principios de la lógica. Invito a Sánchez Ron a que desarrolle el tema en el medio publicado o en este más modesto de Nueva Tribuna. Sé que lo ha hecho de forma brillante en sus libros y a lo largo de su carrera. En España y en castellano aparecieron “Los principios de la matemática” (2) en 1967 en la editorial Espasa-Calpe, aunque los derechos los tenía desde 1948, pero no sé de que nunca aparecieran traducidos sus tres tomos de “Principia Mathematica”. No sé tampoco si puede achacar a la censura franquista este largo período desde la propiedad de los derechos hasta su publicación o son otras las causas. Es claro que la figura de Bertrand Russell no era precisamente querida por los censores, pero no por su obra científica, lógica y matemática, que apuesto las dos piernas y un brazo que aquellos no tenían ni la más remota idea de ella, sino porque ese inglés de impronta volteriana era una figura mundialmente conocida por su pacifismo y su lucha contra toda forma de dictadura y de opresión. En un libro (3) cita Jesús Mosterín unas palabras del filósofo inglés: “tres pasiones simples, pero abrumadoramente fuertes, han gobernado mi vida: el anhelo de amor, la búsqueda del conocimiento y la insoportable piedad por los sufrimientos de la humanidad”. Y merece la pena seguir con sus palabras, tanto por su hondura como por la belleza con que están expuestas: “Estas pasiones, como grandes vientos, me han llevado caprichosamente de acá para allá sobre un océano de angustia, llegando al límite de la desesperación”. La pasión por las matemáticas de B. Russell arranca -según propia confesión- a la temprana edad de los once años, pero también de la decepción que le supuso saber que Euclides “partía de axiomas”. Fue su hermano el que le convenció de que “si no los aceptaba no podríamos seguir adelante”. Los aceptó, pero a regañadientes, porque a cambio sus próximos veinte años fueron una carrera con un fin: demostrar que esos axiomas podían ser sustentados, cobijados, reducidos a principios lógicos. Eso es lo que se ha dado en llamar logicismo, y es una de las tres escuelas o tendencias de las matemáticas que aún perviven. Las otras dos son el intuicionismo (Brouwer) y el formalismo (Hilbert) (4).
Tengo en mis manos “Los principios…”. Los leí por primera vez en la adolescencia y desde entonces les echo un ojo cada cierto tiempo, sin saber si me gusta más el rigor de sus razonamientos, su atrevimiento en discutir verdades admitidas o esa impronta con que están escritos. Su atrevimiento es proverbial. Para cuando escribe B. Russell ya se ha producido uno de las mayores revoluciones en el campo de las matemáticas. Esa revolución lleva un nombre: Georg Cantor (1845-1918). Este ruso nacido en San Petersburgo ha creado toda una matemática a partir de una concepción del infinito alternativo al de origen aristotélico. Hasta entonces -incluso para Gauss- el infinito es potencial, es decir, un conjunto es infinito -diríamos hoy- si dado un elemento cualquiera de un conjunto ordenado podemos encontrar o calcular el elemento siguiente. Nadie puso este criterio en duda hasta Cantor, aunque ya Galileo (1564-1642) advirtió una contradicción en el conjunto de los números naturales. Vio el de Pisa que podía hacerse corresponder uno a uno el conjunto de los números naturales con el conjunto de los pares, haciendo que 1 se aplicara a 2, 2 a 4, 3 a 6, y en general -y esto es lo decisivo-, n a 2n. Y sin embargo un conjunto (el de los impares) es un subconjunto, un trozo de el de los naturales. Pero la cosa se quedó ahí hasta Bolzano (1781-1848). Cantor admitió que otro criterio de infinito sería el del infinito actual (5), es decir, que podía operarse con reglas del análisis -aunque propias- con un conjunto infinito en el que tuviéramos todos sus elementos a la vez, en la mano. La paradoja de Galileo la resolvió otro matemático -Dedekind (1831-1916)- convirtiendo la paradoja en el criterio básico de una nueva matemática y que Cantor hace suyo: un conjunto es infinito si se puede establecer una correspondencia del conjunto con una parte del mismo. Eso no puede ocurrir con uno finito. A partir de esa definición Cantor transforma las matemáticas. Una de las propiedades de los conjuntos infinitos es la de que unos son más infinitos que otros. El petersburgués demostró que el conjunto de los números irracionales es de un grado de infinitud mayor que el de los números racionales, que son los que pueden se puestos como cociente de dos números enteros. Una locura inesperada, pero inapelable si aceptamos algunas premisas previas. A partir de ahí hay una jerarquía de conjuntos infinitos que se pueden obtener sin que se puedan poner en correspondencia unos con otros: son los conjuntos transfinitos. Los últimos años de la vida de Cantor fue, como dice Jesús Mosterín en el libro mencionado, “un continuo entrar y salir de la clínica siquiátrica”. Pues bien, B. Russell, poniéndose la matemática por montera, niega la realidad de los números irracionales (6). Estos números, esta fundamentación de la aritmética, nunca se explica convenientemente en las facultades salvo, supongo, en las de matemáticas. En realidad no se estudian los fundamentos de las matemáticas, sino que en seguida nos ponemos a derivar, integrar, calcular ecuaciones, ecuaciones diferenciales, a trabajar con el álgebra matricial, con las probabilidades, etc. Es una de las reformas que ha de hacerse en los estudios donde se aplican las matemáticas, que son casi todos, hasta los de psicología y biología. Sólo los filólogos se quedan a salvo, porque los de Derecho las necesitan aunque ellos no lo sepan al principio o no se lo crean. Los número reales son la suma de los racionales y los irracionales. Los racionales son o pueden ser siempre resultado del cociente de dos números enteros. Por ejemplo, el número 3/7. Estos números se caracterizan porque si hallamos ese cociente indicado, constan o pueden constar de una parte entera y un número infinito de decimales a partir de la coma, pero con la particularidad de que a partir de un cierto número - a lo más 10- se repiten. Por ejemplo, el número racional anterior 3/7 es igual a 0,42857142857……, que se repite su secuencia a partir del quinto decimal. En cambio el número siguiente que vamos a llamar “pepe”:
no se repite nunca porque se ha construido aumentando sucesivamente el número de ceros cada dos unos; es infinito su número de dígitos y no puede ponerse como cociente (razón) de dos números enteros. Es un ejemplo de número irracional. Pues bien, Bertrand Russell niega la existencia de estos números (7). Intentaré explicarlo en lugar de dar alguna cita. La clave del lógico inglés al negar la existencia del número irracional (de los irracionales) está en los puntos suspensivos del ejemplo. Bajo algún criterio (el del infinito potencial) es verdad que el número queda perfectamente definido, porque sabemos como aumentar el número de dígitos. Es un número construible; pero desde otro punto de vista, este número es inoperante si no fijamos en el número de dígitos, que es infinito. No podríamos, por ejemplo, operar con él en un ordenador porque no puede convertirse en una ristra de unos y ceros finita. Tampoco podemos multiplicarlo por otro número y calcular realmente su valor porque no tenemos una última cifra decimal. Además -y este es el principal argumento de B. Russell- podemos aproximarlo por dos números racionales tanto como queramos. Por ejemplo, el número irracional del ejemplo está comprendido entre estos dos números:
Y si lo queremos aproximar más, podemos hacerlo con estos dos:
Y así indefinidamente. Pero los números a derecha e izquierda de “pepe” son racionales porque son finitos. Niega B. Russell también -si no me equivoco en la interpretación- la necesidad de los irracionales para establecer la continuidad de las funciones en el cálculo infinitesimal: con los racionales basta y sobra. La razón es la de que entre dos racionales siempre se puede construir otro racional: por ejemplo, su media aritmética, aunque no es la única forma de intercalación. Es verdad que entonces -aparentemente- no puede ponerse en correspondencia los números con las distancias, la aritmética con la geometría. Por ejemplo, la raíz de 2 es un número irracional porque se puede demostrar -y es una demostración simple, pero trascendente- de que no puede ponerse como cociente de dos enteros; pero raíz de 2 es también la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos iguales y de valor 1 cada uno de ellos, por lo que la proyección de esta distancia (raíz de 2) en una recta (recta real) da una distancia que no coincide exactamente con ningún número racional. Parecería que B. Russell ha sido refutado, pero no es tan fácil, porque esa proyección es meramente geométrica (con un compás) y eso no indica que exista una distancia real (geometría) coincidente con el valor aritmético de raíz de 2. Y si lo es, lo es por hipótesis y no por conclusión a partir de alguna hipótesis. Russell aceptaría esta argumentación, aunque añadiría que esa distancia en cambio puede ser aproximada por dos números racionales -como en el ejemplo del número “pepe”- tanto como se quiera. Todo esto lleva a la hipótesis del continuo, problema expuesto por Hilbert (1862-1943) en 1900, en la famosa ristra de 23 problemas irresueltos en su momento.
A partir del capítulo 29 de los Principia, todo se hace más inteligible para el no especialista, porque nos habla de cosas más habituales para los que utilizan -utilizamos- las matemáticas sin necesidad operativa de entrar en los intentos de su fundamentación lógica. Quizá por ello nos atrae B. Russell en su intento de fundamentación de las matemáticas en este punto, porque le vemos más asequible, más de sentido común; en cambio nos es más difícil aceptar la existencia del infinito actual cantoriano en lugar del infinito potencial. Es una resistencia lógica o pedagógica, pero existe. Esa es una de las razones -además de la ignorancia de los profesores sobre los fundamentos- por la que no se explican en las facultades los fundamentos de las matemáticas o se explican deprisa y corriendo y mal. Todo lo que he aprendido sobre esta materia (los fundamentos) ha sido por obra de un esfuerzo personal y llevado por una curiosidad irrefrenable. A la larga este déficit en la enseñanza universitaria se paga. Hoy las matemáticas son materia de especialistas y una de las razones del atraso de la formación pos-universitaria es la deficiente formación en esta materia -y consecuentemente en materia tecnológica y científica- de los gestores, empresarios y contratadores de muchas empresas, que no les permiten tomar decisiones en estos campos con conocimiento de causa porque están incapacitados en la lectura de textos, informes, etc., cuando estos han de expresarse ineludiblemente en lenguaje matemático. Es un cuello de botella que no ha sido detectado por ningún estudio, por lo que ha de tomarse como una hipótesis en principio.
Volviendo a los Principia, al final B. Russell resultó derrotado de su intento de construir una matemática sustentada en la Lógica. Como señala el profesor Sánchez Ron, en 1933 apareció una sorprendente y genial demostración de Kurt Godel (8) (1906-1978), matemático y lógico nacido en territorio de la actual Chequia, que hizo estéril e incoherente el intento de B. Russell: no hay forma de establecer una matemática -una aritmética en particular- basada en un conjunto de axiomas o postulados que lleve a dar con todos los teoremas habidos y por haber, porque pasará una de estas dos cosas: o algún teorema se escapa del intento y queda indemostrado a pesar de su validez, o al menos hay uno que es contradictorio con los demás, es decir, que se llega a una conclusión y a su contraria sin error en el razonamiento. Las matemáticas con las que construyen los puentes los ingenieros y los rascacielos los arquitectos no es que sean falsas o erróneas, no hay que asustarse. Los dos teoremas de Godel (9) sólo son una dosis de modestia ante los intentos del todo matemático o lógico. Se pueden construir todo tipo de edificios matemáticos coherentes (no contradictorios) a partir de hipótesis y postulados y con conclusiones y teoremas ciertos y útiles, pero siempre serán sistemas limitados, nunca omnicomprensivos, que servirán para resolver unos problemas y no otros. Por ejemplo, la matemática euclidiana sirve para solucionar problemas geométricos definidos en espacios de 3 dimensiones basados en rectas y curvas, con un tipo específico de definición de distancia, pero no sirven, por ejemplo, para aplicarlo a la teoría de la relatividad; el álgebra que hemos estudiado en el bachillerato sirve -entre otras cosas- para resolver ecuaciones de hasta cuarto grado, pero no para las de quinto o más (en términos generales); los números reales por sí solos no resuelven todas las ecuaciones y muchas veces hay que pasar por las horcas caudinas de los imaginarios (en los que aparece la raíz cuadrada de -1) para obtener soluciones reales. El hallazgo de Godel, su performance, es una de las conquistas intelectuales más altas de la humanidad; quizá sólo le es comparable la demostración del teorema fundamental del álgebra (10) por Gauss (1777-1855). También marca los límites del intelecto.
Bertrand Russell fue al final derrotado en términos estrictamente lógicos ante su intento de cimentar la matemática en la lógica, pero su esfuerzo no ha sido baldío. Muchos avances en las matemáticas, empezando por el comentado del teorema de Godel, han surgido ante el esfuerzo de refutar a los Principia, lo mismo que refutó él la lógica de Frege (1848-1925) con una simple paradoja; sin Cantor no existirían, por ejemplo, Von Neumann y Alain Turing y su maquina universal, base de la lógica de los ordenadores. Todo esto demuestra además la importancia de estudiar y de implementar en los planes de estudio universitario de economía, ingeniería, finanzas, biología, etc., la historia de las matemáticas. La derrota del inglés recuerda la interpretación de Ortega de El Quijote como la exaltación del fracaso a pesar del esfuerzo; y sin embargo, no se entendería, a cambio, la literatura española y parte de la europea posterior a Cervantes sin la historia inventada de la eterna pareja. La historia está llena de derrotas antes de llegar a la victoria: ejemplos de ello son las teorías físicas y/o químicas basadas en el calórico, en el flogisto o en el éter. La ideología del que queda segundo es un derrotado y que “sólo el ganador es valorado y recordado”, que denuncia Sánchez Ron, no tiene validez universal, es la ideología de la competitividad -que no de la competencia- como bien supremo, la del éxito en los negocios como valor ético; es una ideología reaccionaria, de origen weberiana en su teorización y justificación, propia de los países anglosajones, sustentada en el paradigma smithiano de que buscando el interés particular se consigue el general. No es la ideología de los derechos humanos, del humanismo, del erasmismo (11) europeo. Incluso Schumpeter padece de esta ideología con su teoría de los ciclos basados en la destrucción creativa, pero al menos esta teoría puede ser contrastada históricamente. Sánchez Ron extiende para todos los políticos españoles el catecismo del P. P. basado en la ocultación, la mentira, la difamación, el cinismo; la ideología y/o catecismo de los chicos y chicas que salen de la escuelas de negocios y universidades privadas -que es una contradicción en los términos- dispuestos a combatir al enemigo por cualquier medio, siendo el enemigo cualquiera que les puede apartar del éxito en la vida, en el trabajo y en los negocios. Es verdad que parte de la izquierda -más la gobernante que la opositora- está impregnada de estos vicios. Recuerdo una discusión de Álvarez Cascos, entonces secretario general del P. P., con Josep Borrell, aspirante a la Moncloa, en la que éste le recriminaba al pepero de Asturias su ignorancia por no distinguir entre déficit público y deuda pública. La respuesta de Álvarez Cascos fue más o menos en estos términos: las urnas nos dirán quien tiene razón. Made in P. P. Esta es la ciencia del P. P.
Es improbable que estas páginas las lea el profesor José Manuel Sánchez Ron, pero si por un milagro lo hiciera le diría: ánimo, no se desanime, siga explicando la ciencia bajo criterios o principios de verdad, veracidad, quizá de falsibilidad popperiana y contrastación de hipótesis, y véngase a nuestro lado, al lado de la izquierda, a la de los principios de justicia, de solidaridad, de igualdad no igualitarista, de internacionalismo, de mestizaje, porque se está más a gusto y en los que se siente uno más joven.
Antonio Mora Plaza
(1) http://www.elpais.com/articulo/opinion/valor/fracaso/digno/elpepiopi/20101111elpepiopi_11/Tes
(2) En español “Los principios de la Matemática”, Espasa-Calpe, 1967.
(3) “Los lógicos”, Espasa-Calpe, colección Austral, 2007, pág. 218.
(4) Un libro estupendo y muy asequible para espíritus curiosos es la conocida “Historia de la matemática”, de Carl B. Boyer, Alianza Universidad Textos, 1986.
(5) “Fundamentos para una teoría general de conjuntos”, Georg Cantor, Editorial Crítica, S, L., 2005, pág. 103. También “Grandes matemáticos”, en Investigación y Ciencia, temas 1, 1995.
(6) En realidad se habla siempre de reales porque estos son la suma de los racionales y de los irracionales, pero lo que marca la pauta del distinto grado de infinitud no es el hecho de que un conjunto (los racionales) sea menor que la suma de los racionales e irracionales (los reales), sino por el hecho de que por sí solos -sin añadir los racionales-, los irracionales tienen un grado de infinitud mayor que los racionales.
(7) “Los principios de la Matemática”, pág. 313.
(8) Es con diéresis en la o, pero en mi teclado no funciona este acento.
(9) Hay muchos libros en castellano con el teorema. A mí el que más me gusta es el de nuestro gran Manuel Sacristán “Introducción al análisis y a la lógica formal”, Círculo de Lectores, 1990, páginas 247 y siguientes. Más actual es el de “Godel para todos”, de G. Martínez y G. Piñeiro, Ediciones Destino, 2010.
(10) “La matemática: su contenido, métodos y signifcado”, Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev, etc., Alianza Universidad, 1973, páginas 338 y siguientes.
(11) Véase las partes más europeas del libro de José Luis Abellán “El erasmismo español”, Espasa-Calpe, 2005.