martes 14.07.2020
ANÁLISIS | ANTONIO MORA Y GABRIEL MORENO

Elogio de las matemáticas

Elogio de las matemáticas

A todos a los que amamos las matemáticas y consideramos que es una de las grandes conquistas de la humanidad, nos ha sobrecogido las palabras de una ministra musitando la posibilidad de convertir las matemáticas en una optativa en la enseñanza secundaria. Las artes plásticas, las manifestaciones musicales, -tanto en su faceta interpretativa como creativa-, el lenguaje, las lenguas en su decantación conceptual, son señas de identidad del ser humano, y a estas hay que añadir este maravilloso instrumento que son las matemáticas, una mezcla de lógica y lenguaje. No somos quizás mejores ingenieros que las abejas con sus paneles y otros seres vivos; como cazadores, muy torpes y tuvimos que ayudarnos de instrumentos de caza para sobrevivir; la evolución nos ha minado de especialidad si nos comparamos con otros seres vivos, pero la belleza del Taj Mahal, la emoción del Réquiem de Mozart o la profundidad lógica de los teoremas de incompletitud de Gödel, compiten con las mejores hazañas de nuestros primos, el resto de los seres vivos, a los que debemos respeto cuando no veneración. Vamos a demostrar en este breve artículo a la ministra que, esperemos, solo haya tenido un mal sueño en una noche de de verano –en ciernes al menos– rodeada de fantasmas del covid19, al igual que a la Semíramis de Calderón la perseguían los fantasmas de sus víctimas.  Vamos a demostrar que la humanidad no hubiera llegado aquí sin las matemáticas, al igual que tampoco lo hubiera hecho sin el lenguaje, el fuego, la división del trabajo, la escritura, la ingeniería, etc. Sra. Ministra, intentar menoscabar la enseñanza de las matemáticas en la secundaria no es ser de izquierdas, es ser de derechas, muy de derechas, es amputar de un conocimiento que puede ser imprescindible para que puedan competir en condiciones de igualdad el hijo de Amancio Ortega con la hija de una cajera de un supermercado en el mercado de ciertos trabajos y enseñanzas. Y los hijos de los que más tienen, podrían, en su caso y necesidad, pagarse por lo privado, las enseñanzas de las matemáticas si fuera menester.

Vamos hacer un breve recorrido, apenas una salpicadura de ejemplos, de cómo las matemáticas han sido cruciales para llegar hasta aquí, para ser lo que somos, además de todas otras creaciones y manifestaciones que antes hemos mencionado a modo, también, de botón de muestra. También hablaremos de los usos imprescindibles de las matemáticas en el mundo actual, más allá de la enseñanza. Comenzamos. Sin duda es el teorema de Pitágoras el teorema más conocido de la humanidad, que viene a decir que en un triángulo ideal, si dos de sus tres segmentos que lo conforman son perpendiculares, mantienen una relación sus lados tales que la suma de los cuadrados de los dos menores es igual al cuadrado del mayor. Por supuesto que muchas de las grandes construcciones de la humanidad, como por ejemplo las pirámides [1] egipcias, se han podido construir sin conocer ¡el teorema!, pero no se hubieran hecho sin tomar medidas en el corte de las piedras sin tener en cuanta algunos de resultados prácticos cuantitativos que guardan los lados de un triángulo pitagórico. En la secundaria y bachillerato estudiamos, por ejemplo, la trigonometría, materia que permite a los agrimensores y, en general, a los ingenieros medir distancias ¡sin tener que recorrerlas! Con la trigonometría podemos calcular la distancia de la Luna a la Tierra, de ésta al Sol, a los planetas, por ejemplo. Podemos, también, medir el ancho de un ancho río –valga la redundancia– sin atravesarlo. La lista de lo que se puede hacer y lo que se ha hecho con esta rama de las matemáticas es interminable. Pues bien, la trigonometría toda se reduce al teorema de Pitágoras [2]. Pensemos en el sextante, instrumento utilizado durante varios siglos para navegar seguros de que la derrota es posible con un pequeño margen de error: el sextante es trigonometría también, una rama de la geometría. Más. Sin el teorema de Pitágoras, por ejemplo, Einstein no hubiera podido desarrollar la teoría restringida de la relatividad. Sin el teorema de Pitágoras no se podría triangular una esfera como lo hacen los satélites con el famoso GPS, y ello es posible por el desarrollo de la geometría esférica [3], una modalidad de la trigonometría y, ahí, está Pitágoras. Gracias al teorema pudo Eratóstenes (276-194 aC) medir la longitud de la Tierra con un margen de error aceptable.

Cualquiera que abra el libro de Newton se llevará una morrocotuda sorpresa porque, el inventor del calculo diferencial junto con Leibniz (1646-1716), no lo emplea sino que “describe el sistema del mundo” al modo geométrico, con ¡geometría!

Sin las matemáticas, en concreto sin la geometría, Arquímedes (287-212 aC) no hubiera podido desplegar los ingenios que permitieron a los cartagineses mantener a raya durante un tiempo a los romanos (241-212 aC), el otro imperio que competía con Cartago. Arquímedes es el más grande físico, ingeniero y matemático Antigüedad, dicho así para ser generosos con los que vinieron después. A este genio le debemos el cálculo del número pi con una precisión más que suficiente como para viajar al menos por nuestro sistema planetario con seguridad; y, calculado pi, calculó superficies y volúmenes de muchas de las figuras geométricas que conocemos, y sin estos cálculos apenas se podrían construir casas y edificios de más de dos pisos; no habría puentes ni acueductos. Escribió dos de los libros más importantes de la historia de las matemáticas: El contador de arena y Sobre la esfera y el cilindro. Arquímedes, el descubridor de las leyes de la estática, llega a demostrar el volumen de la esfera por métodos ingenieriles o, a demostrar también que la relación entre la circunferencia y su diámetro es constante ¡independientemente de su tamaño!

Y no podemos abandonar eso que han llamado la Antigüedad –mayor estupidez de nombre no cabe– sin mencionar al otro grande de entre los muchos grandes: Euclides (325-265 aC). No sabemos a ciencia cierta sus aportaciones, salvo algunas, pero escribió uno de los grandes libros de la humanidad que puede competir con otros en lectura y transcendencia históricas como son La Biblia, los Principia de Newton, El Quijote de Cervantes o Las mil y una noches. Escribió Los elementos, libro estudiado durante 2.300 años, hasta al menos el siglo XIX como libro de enseñanza. Es verdad que los avances en lógica y geometrías no euclidianas lo dejaron algo mohíno, pero se trata de la primera vez en la historia que podíamos pensar y utilizar un instrumento teórico más allá de las medidas concretas, más allá de nuestra experiencia. La humanidad, Sra. Ministra, es distinta desde Los Elementos y, quizás ahí, comenzó a forjarse la ventaja occidental respecto a Oriente.

Damos un salto en el tiempo y llegamos a Galileo (1564-1642), el primero que afirmó que el lenguaje de la Naturaleza estaba escrito con matemáticas [4] y, además, lo demostró; el primero en corregir a Aristóteles; el primero en someter a la férula de las matemáticas el movimiento de los cuerpos mediante sus experimentos con el plano inclinado; el primero en construir un telescopio capaz de descubrir que la luna no era una esfera ¡geométrica! perfecta, sino que tenía sus cráteres y sus montañas, sus imperfecciones; vamos, que la esfera celeste ni era tan esférica ni tan celestial. Galileo es el padre de la Física moderna por sus métodos y Newton por sus resultados, ambos grandes matemáticos. También lo es, en gran medida, padre de la Astronomía, aunque también “caminaba a hombros de gigantes” como Brahe, Kepler [5] (1571-1630) y, sobre todo, como Copérnico (1473-1543), el último de los astrólogos y el primero de los astrónomos. Gracias a las matemáticas nos descubrió Galileo qué entra en juego en el movimiento pendular y qué no; con ayuda de las matemáticas pudo medir que los cuerpos caen de acuerdo con ¡el cuadrado del tiempo! [6], y con ello dejó preparado que otro genio descubriera la relación ¡matemática! que mueve la caída de una manzana a la Tierra es exactamente la misma que describe el movimiento de la Tierra en torno al Sol, por ejemplo. Sí, es la teoría de la gravitación universal, que se expresa con una sencillez ¡matemática! pasmosa: los cuerpos se atraen en relación a sus masas e inversamente al cuadrado de las distancias. Galileo escribió dos libros capitales de la historia de la ciencia: Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo y Discurso y demostración ¡matemática! en torno a dos nuevas ciencias. Copérnico, Galileo y Newton, junto con otros también importantes, cambiaron la historia de la humanidad, de la ciencia y de las matemáticas, y gracias a las matemáticas de entonces [7] que eran la aritmética, la geometría y los recientes avances del álgebra.

Cualquiera que abra el libro de Newton se llevará una morrocotuda sorpresa porque, el inventor del calculo diferencial junto con Leibniz (1646-1716), no lo emplea sino que “describe el sistema del mundo” al modo geométrico, con ¡geometría! Todavía entonces la reina de las ciencias eran las matemáticas, tal como había enseñado Arquímedes, por cierto, el pionero del cálculo integral y diferencial con su método de exhaución, método que el propio genial bardo inglés menciona en una de sus obras teatrales. Y, por cierto, la otra reina, esta vez de la lengua, era el latín, lingua franca de entonces, en la que se expresa Newton en su gran pero no única obra. En efecto, sin la ¡trigonometría! no hubiera podido explicar La Óptica, la otra gran obra del genio inglés.   

Damos un salto en el tiempo y vamos desde los Pascal, Descartes, Newton, Leibniz, Bernoulli [8], Euler, etc., que añadieron a la aritmética y la geometría, el cálculo diferencial, que permite desarrollar materias como la mecánica de fluidos y gases, la aeronáutica, el electromagnetismo [9] y sus aplicaciones –que han transformado el mundo mediante el uso generalizado de la electricidad– y la termodinámica, por poner algunos simples ejemplos, materias que, sin las matemáticas, solo tendríamos resultados empíricos. Y en el siglo XVIII nace el que para muchos es el mayor genio de las matemáticas de todos los tiempos: Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Este alemán no dejó títere con cabeza en todo los campos científicos y matemáticos en los que puso sus neuronas a trabajar. Por ejemplo, a él le debemos la posibilidad de poder saber algo de una población a través de una encuesta utilizando su teoría de la probabilidad y la campana que lleva su nombre, campana que surge de una formulación matemática sobre la distribución de una variable; a él le debemos las geometrías no euclidianas que dan soporte formal –además de la matemática de tensores– a la teoría de la relatividad generalizada; demostró el teorema fundamental del álgebra; formuló matemáticamente la llamada ley de Gauss que incorporó el escocés Maxwell a su formulación matemática del electromagnetismo. Prácticamente inventó la econometría al evaluar el movimiento de los cuerpos celestes, y con la econometría podemos evaluar, a su vez, con un cierto grado de confianza, las supuestas relaciones de causa y efecto entre fenómenos sociales y/o físicos; con Gauss podemos invertir una matriz, lo cual es imprescindible para el análisis Input-Output de la economía. Solo se le pueden comparar -en cuanto a dimensión cuantitativa de su obra matemática- Euler y Cauchy con este príncipe de las matemáticas, como fue llamado. Al igual que con Galileo o con Goya en la pintura, el mundo cambió con su obra. La Física, la Astronomía, la ingeniería dieron un salto de calidad con sus contribuciones; todo fue distinto después de él.

Vamos a dar otro salto tal que sus consecuencias prácticas nos resultan familiares: los ordenadores. ¡Qué distinto era el mundo antes y después de estas maravillosas máquinas! que nos permiten manejar una ingente información casi al instante, que nos permiten hacer cálculos que sin ellas tardaría la humanidad milenios en llegar a los mismos resultados, que nos permiten mandar información a la velocidad de la luz, que permiten a los Estados tener sistemas tributarios modernos. Los padres de la informática son muchos, pero señalemos a Pascal –y su pascalinaLovelace, Turing, Von Neumman. Y las matemáticas implicadas, absolutamente imprescindibles y quizás también elementales, son un ¡álgebra! que inventó un modesto matemático inglés junto con los sistemas de numeración de la aritmética. Fue George Boole (1815-1864) quien inventó –¿o es descubrimiento?– una matemática basada en conjuntos, en sus uniones e intersecciones, y jamás pudo sospechar la trascendencia de su invento o descubrimiento. Sin álgebra de Boole [10] no habría ordenadores, no tendríamos GPS, no habría ni Google ni Internet, no podríamos controlar los contagios de la actual pandemia a través de los pcr. Son algunos ejemplos de los cientos o miles que se pueden poner tales que, sin el instrumental matemático, seríamos más pobres, tendríamos dificultades técnicas para luchar contra la desigualdad aunque la práctica política fuera en esa dirección.

Y ahora hemos de pararnos en otro genio, Alan Turing (1912-1954), que con la ayuda inestimable y previa de unos antifascistas polacos, descifró la máquina Enigma, máquina que mandaba información codificada a los submarinos del III Reich y que no paraban de hundir buques ingleses y, también, norteamericanos. Con su desciframiento se paró la sangría; además se facilitó la defensa de Inglaterra de la Luftwaffe alemana. No obstante, fue la cinta sin fin que procesa y cambia información la madre lógica de la informática, su mayor descubrimiento o invención.

Un último ejemplo que casi ningún lector sabe. Hoy nos maravillamos ante los buscadores: ¿cómo es posible que tecleando una palabra o conjunto de ellas en Google pueda salir toda una miríada de blogs y páginas webs que tienen en sus textos esas palabras? Pues bien, eso es debido a las matemáticas. En concreto se debe a las matrices y al cálculo de sus vectores y valores propios lo que permite tamaña hazaña. Además hay más, porque sus inventores –Larry Page y Sergey Brin– tuvieron que crear un algoritmo [11] que permita ordenar tal cantidad de información de cara al lector. Y los buscadores han cambiado la historia de la información y, por ende, la historia de la humanidad.

Llegados hasta aquí, es imprescindible lanzar una mirada al futuro. Podemos quedarnos donde estamos y seguir disminuyendo, empobreciéndonos, reduciéndonos a la nada o avanzar construyendo un mundo que si es justo y equitativo nos aportará cierta felicidad al ser humano. El desarrollo científico y técnico actual avanza portando tres líneas fundamentales de desarrollo. La primera de esas líneas es la inteligencia de datos consistente en la elaboración de predicciones a través de patrones observados en el análisis de grandes cantidades de datos, que sirve tanto para el comportamiento humano, como para otras disciplinas como control de epidemias como la actual. La segunda son las redes neuronales artificiales, sistemas físicos que aprenden alimentándose con datos que permiten adentrarnos en campos como la lógica difusa y que permiten que máquinas mecánicas imiten a los humanos en la toma de decisiones. La tercera es la inteligencia artificial, capaz de percibir su entorno y tomar decisiones en consecuencia, y que forman parte de las rutinas cotidianas en áreas que van desde la economía hasta la medicina.

Estas tres áreas de la actividad humana orientan el futuro, el desarrollo humano y los avances tecnológicos que permitirán una sociedad más preparada para enfrentar los retos que se le presentan a la humanidad ya, en estos momentos. Las tres están interrelacionadas y las tres están construidas con los conocimientos matemáticos actuales. Sin ellos no podrían desarrollarse.

Si avanzamos más comprenderemos que el conocimiento de la estructura íntima de la materia, el submundo de nuestro universo, nos resulta incomprensible porque no es intuitivo. Sólo podemos comprender el mundo de las partículas que conforman el universo a través de las matemáticas. Imposible sin éllas. 

La Física, la Química –recombinando en ordenadores moléculas de adn–, la Astrofísica, la Economía, incluso la Sociología –la maldita sociometría para los sociólogos–, serían cosas muy distintas, más primitivas, de lo que son actualmente. En el caso de la Física simplemente no existiría [12] o no hubiéramos pasado de Aristóteles. Sra. Ministra [13], lea la maravillosa obra de Shakespeare El sueño de una noche de verano y olvídese del pesado sueño de hacer optativa las matemáticas, porque los sueños, como diría nuestro genial barroco,... sueños son. Déjelos en sueño y no en pesadilla. Si alguna vez tenemos que comunicarnos con seres de otras galaxias solo lo podremos hacer a través de las matemáticas. Por todo lo anterior se lo repetimos: quitar las matemáticas de las enseñanzas medias es de derechas, muy de derechas, además de ser un error de dimensiones planetarias.


Antonio Mora Plaza | Económetra; Gabriel Moreno Jiménez | Físico 


[1] El llamado “codo egipcio” era un triángulo de lados 3,4 y 5, el cual daba lugar a un triángulo pitagórico dado que 5 al cuadrado es la suma de los cuadrados de 3 y 4. Pero la gran ventaja del teorema pitagórico es que podemos calcula y construir cualquier elemento físico que necesitemos en forma de triángulo dado la medida de dos de los tres lados, sean cuales sean las medidas concretas de estos lados.
[2] Pitágoras  descubrió, por ejemplo, que había una relación entre la belleza de la armonía de la música y unas exactas relaciones aritméticas.
[3] Y gracias, además, de la precisión dada por la teoría de la relatividad generalizada para poder medir distancias grandes sin margen de error apreciable en el tiempo.
[4] Con Galileo y Newton ganamos precisión en el movimiento de los cuerpos pero, por contra, sustituimos las esencias aristotélicas de los cuerpos por la preocupación por los mencionados movimientos: precisión matemática a cambio de renuncia ontológica. Además perdemos la especulación del porqué por el del cómo. Y esta es otra limitación que impone el método científico en Física: solo se busca la explicación de lo que está sujeto a recuento y medida. El propio Newton se lamentaba de haber descubierto el cómo se movían los cuerpos pero no saber el porqué. Es un tópico decir que este porqué no llegó hasta Einstein con la deformación del espacio-tiempo en presencia de masas.
[5] Aunque en la enseñanza secundaria y, a veces, la universitaria no nos enseñan a reflexionar sobre lo inaudito, debería resultar sorprendente las relaciones perfectas (matemáticamente) con que se describen el movimiento de los planetas en torno al Sol. Por ello no queda más remedio que reconocer, con Galileo, que el movimiento de los cuerpos en el espacio y en el tiempo están escritas con matemáticas. Kepler descubrió sus leyes de forma empírica, pero fue Newton que, a partir de sus leyes de la física que el mismo descubrió, pudo demostrarlo. Se trata de uno de los grandes logros intelectuales de todos los tiempos.
[6] Rectificando a Aristóteles, Galileo descubrió que los cuerpos caen a aceleración constante y no a velocidad constante. Este descubrimiento es el paso de la errónea física aristotélica a la física moderna. Es equivalente semejante hazaña al descubrimiento por  Copérnico de que es la Tierra la que gira en torno al Sol y no al revés, o al descubrimiento de la ley de la caída de los graves por Newton que mencionamos en el texto. Sin matemáticas estaríamos todavía discutiendo sobre las esencias de las cosas con la metafísica de Aristóteles o de Heidegger en la mano.
[7] A estas ramas hay que añadir la que surgieron de la mente de Newton y Leibniz y otros, como fue el cálculo diferencial, que ya se menciona en otra parte del presente texto.
[8] Con simple ecuación ¡matemática! Creo Bernouilli (Daniel) toda una rama de la Física como es la mecánica de fluidos.
[9] En el descubrimiento del electromagnetismo se juntan dos genios, uno experimental que fue Faraday y el otro un ¡matemático! puro como fue Maxwell. El primero no tenía formación universitaria porque era un encuadernador, el segundo construyó una hazaña al sintetizar en 4 ecuaciones las leyes del electromagnetismo. Sin matemáticas el electromagnetismo sería una curiosidad de determinados materiales que atraen o rechazan limaduras de hierro o mueven una brújula imantada al polo norte.
[10] Al álgebra booliniana hay que añadir a Venn y sus diagramas, que posibilitan la síntesis de los lenguajes de programación.
[11] El algoritmo o los algoritmos de ordenación de la información extraída es uno de los secretos mejor guardados, al igual que los ingredientes de la Coca-Cola.
[12] Hay dos ramas de las matemáticas en las que la distancia no son significativas que son la Lógica y la Topología.
[13] La bibliografía sobre la historia de la Ciencia y de las Matemáticas es inmensa, Sra. Ministra, pero le recomendaríamos el clásico de C. B. Boyer, los 3 tomos en Alianza Editorial de Morris Kline, y los firmados conjuntamente por Manuel Selés y Carlos Solís, que son varios.

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